Hovedindhold

Emne: (Trigonometri > Emne 1

Modul 7: De reciprokke trigonometriske funktioner

Reciprokke trigonometriske forhold

Lær hvordan cosekans, sekans og cotangens er de reciprokke af, og hænger sammen med, de tre grundlæggende trigonometriske funktioner: sinus, cosinus og tangens.

Vi har allerede lært de tre grundlæggende trigonometriske funktioner:

Men der er yderligere tre forhold vi kan se nærmere på:

I stedet for $\frac{a}{c}$ ‍, kan vi skrive $\frac{c}{a}$ ‍.
I stedet for $\frac{b}{c}$ ‍, kan vi skrive $\frac{c}{b}$ ‍.
I stedet for $\frac{a}{b}$ ‍, kan vi skrive $\frac{b}{a}$ ‍.

Disse nye forhold er de reciprokke trigonometriske forhold, og vi skal nu lære deres navne.

Cosekans $(\csc)$ ‍

Cosekans er den reciprokke til sinus. Den er forholdet mellem hypotenusen og den modstående side af en given vinkel i en retvinklet trekant.

\sin (A) = \frac{modstående katete}{hypotenuse} = \frac{a}{c}

\csc (A) = \frac{hypotenuse}{modstående katete} = \frac{c}{a}

Sekans $(\sec)$ ‍

Sekans er den reciprokke til cosinus. Den er forholdet mellem hypotenusen og den hosliggende side af en given vinkel i en retvinklet trekant.

\cos (A) = \frac{hosliggende katete}{hypotenuse} = \frac{b}{c}

\sec (A) = \frac{hypotenuse}{hosliggende katete} = \frac{c}{b}

Cotangens $(\cot)$ ‍

Cotangens er den reciprokke til tangens. Den er forholdet mellem den hosliggende side og den modstående side af en given vinkel i en retvinklet trekant.

\tan (A) = \frac{modstående katete}{hosliggende katete} = \frac{a}{b}

\cot (A) = \frac{hosliggende katete}{modstående katete} = \frac{b}{a}

Hvordan husker folk disse ting?

For de fleste mennesker er det nemmeste at huske disse nye forhold ved at knytte dem til deres reciprokke forhold. Tabellen nedenfor opsummerer disse relationer.

	Beskrivelse	Matematisk sammenhæng
cosekans	Cosekans er den reciprokke til sinus.	$\csc (A) = \frac{1}{\sin (A)}$ ‍
sekans	Sekans er den reciprokke til cosinus.	$\sec (A) = \frac{1}{\cos (A)}$ ‍
cotangens	Cotangens er den reciprokke til tangens.	$\cot (A) = \frac{1}{\tan (A)}$ ‍

Udregning af de reciprokke trigonometriske forhold

Lad os kigge på et eksempel.

I trekanten nedenfor, skal vi finde

\csc (C)

\sec (C)

\cot (C)

Løsning

Udregning af cosekans

Vi ved, at cosekans er den reciprokke til sinus.

Da sinus er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen, er cosekans forholdet mellem hypotenusen og den modstående katete.

\begin{aligned} \csc (C) & = \frac{hypotenuse}{modstående katete} \\ = \frac{17}{15} \end{aligned}

Udregning af sekans

Vi ved, at sekans er den reciprokke til cosinus.

Da cosinus er forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen, er sekans forholdet mellem hypotenusen og den hosliggende katete.

\begin{aligned} \sec (C) & = \frac{hypotenuse}{hosliggende katete} \\ = \frac{17}{8} \end{aligned}

Udregning af cotangens

Vi ved, at cotangens er den reciprokke til tangens.

Da tangens er forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete, er cotangens forholdet mellem den hosliggende katete og den modstående katete.

\begin{aligned} \cot (C) & = \frac{hosliggende katete}{modstående katete} \\ = \frac{8}{15} \end{aligned}

Prøv selv!

Opgave 1

\csc (X) =

Opgave 2

\sec (W) =

Opgave 3

\cot (R) =

Udfordrende opgave

Hvad er den præcise værdi af $\csc (45^{\circ})$ ‍?

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Trigonometri