Negative tal: addition og subtraktion

Der er ikke nogen, der ved, hvornår og hvor folk først begyndte at bruge negative tal. Forskellige kulturer har sandsynligvis udformet og brugt dem uafhængigt af hinanden. De historiske beviser er utvetydige og ofte stilles der spørgsmålstegn ved dem. Tiltrods for dette er her nogle begivenheder i de negative tals historie.

Den tidligste kendte brug af negative tal i en matematisk sammenhæng er nok i den kinesiske tekst Jiuzhang Suanshu (De ni kapitler om matematikens kunst) fra det $1\text{.}$‍ eller $2\text{.}$‍ århundrede e.v.t. Den indeholder opgaver om gæld og overskud, som repræsenteres med henholdsvis sorte og røde regnepinde. Ligeledes er der regler for brugen af positive og negative tal ved addition, subtraktion, multiplikation og division samt ved beregninger af kvadratrødder.

Den indiske matematiker Brahmagupta ($7\text{.}$‍ e.v.t.) var en af de første, der anvendte negative tal på lige fod med andre tal. Han lavede regler for deres brug i aritmetik, hvor produktet af to negative tal var et positivt tal. Han viste også, at negative tal kan være løsninger til andengradsligninger og at de kan bruges til at beskive retningen af himmellegemers bevægelse. Han mente dog ikke, at negative tal kunne være koefficienter i ligninger og betragtede i visse sammenhænge både nul og negative tal som ikke-tal eller ugyldige.

Tallinjen er et meget nyttigt visuelt værktøj, når du arbejder med negative tal. Når vi lægger et negativt tal til, går vi mod venstre på tallinjen, og når vi lægger et positivt tal tal til går vi mod højre. Når vi trækker fra, går vi i den modsatte retning! Summen eller differensen er det tal på tallinjen, hvor vi ender.

Du kan også trække fra ved først at finde begge tal på tallinjen. Afstanden mellem de to tal svarer til den numeriske værdi af differensen. Hvis du har udtrykket $-7-(-9)$‍, så vil $-7$‍ og $-9$‍ ligge $2$‍ enheder fra hinanden på tallinjen. Derfor er $|-7-(-9)|=2$‍.

Prøv selv i vores øvelse Addition af negative tal på tallinjen.

Vi sætter en parentes rundt om negative tal, for at undgå at lave en fejl.

Når vi skal trække $-2$‍ fra $5$‍, så kan vi skrive det som $5-(-2)$‍. Ved at sætte en parentes rundt om $-2$‍, så kan man tydeligt se at, der skal trækkes et negativt tal fra. Derved undgås at trække $2$‍ fra ved en fejl.

Dette er især nyttigt, når vi har et udtryk, der indeholder flere negative tal. For eksempel, hvis vi skal trække $-2$‍ fra $-7$‍, så skriver vi $-7-(-2)$‍. Når vi bruger en parentes, kan vi tydeligt se, at der trækkes et negativt tal fra, så vi ved svaret bliver en større værdi.

Med andre ord parenteser hjælper os med at undgå dumme fejl samt gøre udtryk nemmere at overskue.

Addition har nogle fleksible egenskaber. Den kommutative lov siger, vi kan lægge tal sammen i vilkårlig rækkefølge uden at ændre summen. En regel, der bl.a. gør det nemmere at lægge tal sammen i hovedet. Den associative lov, siger vi kan ændre grupperingen af addenderne uden at ændre summen.

Den kommutative lov gælder ikke ved subtraktion.

Derfor kan et udtryk som $-8a+2b-5a$‍ reduceres ved at samle ens led.

Men ved at omskrive udtrykket så subtraktion bliver addition med et negativt tal, så kan vi bruge den kommutative lov - og de ens led kan samles!

Bemærk, hvordan minustegnet nu hører sammen med hvert led, i stedet for at være en regneoperation.

Når vi omskriver subtraktion til addition med det modsatte tal, så kan vi også bruge den associative lov. I stedet for at kun at addere og subtrahere fra venstre mod højre, kan vi omgruppere, så udregningerne bliver nemmere.

Efterhånden vil du blive i stand til at lave disse omskrivninger i hovedet, men i begyndelsen er det en god ide at skrive alle trinnene ned.

Prøv selv i vores øvelse Tilsvarende udtryk med negative tal.