Hovedindhold
Emne: (Algebra 1 > Emne 13
Modul 4: Introduktion til faktoriseringIntroduktion til faktorer og delelighed
Lær hvad det vil sige, at et polynomium er en faktor i et andet polynomium, og hvad det vil sige, at et polynomium er deleligt med et andet polynomium.
Hvad du skal vide til denne lektion
Et et-leddet udtryk er et udtryk, som kan bestå af enten en konstant (et tal), en variabel, f.eks. , opløftet i en potens, eller en kombination af de to, f.eks. . Et polynomum (fler-leddet udtryk) er udtryk, som består af en sum af et-leddede udtryk, som f.eks. .
Hvad vi skal lære i denne lektion
I denne lektion skal vi undersøge sammenhængen mellem faktorer og delelighed i polynomier, og vi skal også lære at afgøre, om et polynomium er en faktor i en anden.
Faktorer og delelighed af hele tal
Når vi ganger to hele tal sammen for at få et andet helt tal, så siger vi, at de to tal, som vi gangede sammen, er faktorer i det andet tal.
For eksempel: fordi , så ved vi, at og er faktorer i .
Et helt tal er deleligt med et andet tal, hvis divisionen giver et helt tal.
For eksempel: fordi og , så er deleligt med og . Men fordi , så er ikke deleligt med .
Bemærk, at sammenhængen mellem faktorer og delelighed går begge veje:
Fordi (hvilket betyder, at er en faktor i ), så ved vi, at (hvilket betyder, at er deleligt med ).
Og fordi (hvilket betyder, at er deleligt med ), så ved vi, at (hvilket betyder, at er en faktor i ).
Der gælder generelt: Hvis er en faktor i , så er deleligt med , og omvendt.
Faktorer og delelighed af polynomier
Denne viden kan også anvendes til polynomier.
Når to, eller flere, polynomier bliver ganget sammen, kalder vi hver af disse polynomier for faktorer i produktet.
For eksempel: .
Det betyder, at og er faktorer i .
Når et polynomium er deleligt med et andet polynomium, så er kvotienten også et polynomium.
For eksempel: fordi og , så er deleligt med og . Men fordi , så er ikke deleligt med .
Den samme sammenhæng mellem faktorer og deleligheden som vi kom frem til med tallene, kan også bruges her:
Generelt kan man sige, at hvis for polynomierne , og , så ved vi følgende:
og er faktorer i . er deleligt med og .
Tjek din forståelse
Bestemmelse af faktorer og delelighed
Eksempel 1: Er deleligt med ?
For at svare på dette spørgsmål, kan vi reducere . Hvis resultatet er en et-leddet størrelse, så er deleligt med . Hvis resultatet ikke er en et-leddet størrelse, så er ikke deleligt med .
Fordi resultatet er en et-leddet størrelse, så er deleligt med . (Det betyder samtidig, at er en faktor i .)
Eksempel 2: Er en faktor i ?
Hvis er en faktor i , så er deleligt med . Så lad os prøve at reducere .
Bemærk, at leddet ikke er en et-leddet størrelse, da det er en kvotient, ikke et produkt. Derfor kan vi konkludere, at ikke er en faktor i .
Opsummering
Generelt kan man sige, at hvis et polynomium, , er deleligt med et andet polynomium, , eller hvis er en faktor i , så kan vi bestemme .
Hvis udtrykket reduceret giver et polynomium, så er deleligt med , og er en faktor i .
Tjek din forståelse
Udfordrende opgaver
Hvorfor er vi interesserede i at faktorisere polynomier?
Ligesom faktorisering af tal har vist sig at være brugbart, så er faktorisering af polynomier også et vigtigt værktøj, som kan bruges i mange sammenhænge!
Det er særligt med brugbart i forhold til løsning af andengradsligninger og reducering af rationale udtryk.
Hvis du vil se eksempler på det, så tjek følgende artikler:
Hvad er næste skridt?
Næste skridt er at lære at faktorisere et-leddede udtryk. Det kan du lære mere om i vores næste artikel.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.