Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 3: Løsning af andengradsligninger ved at tage kvadratroden

Løsning af andengradsligninger ved at tage kvadratroden

Lær at løse andengradsligninger som x²=36 eller (x-2)²=49

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

Indtil nu har du løst lineære ligninger , som indeholder konstanter (almindelige tal) og variable af første grad,

x^{1} = x

Du vil nu lære at løse andengradsligninger, som indeholder led, hvor variablen er i anden potens,

x^{2}

Her er et nogle eksempler på typer af andengradsligninger, som du lærer at løse:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

2 x^{2} + 3 = 131

Lad os nu komme til sagen.

Løsning af $x^{2} = 36$ ‍ og lignende ligninger

Antag, at vi ønsker at løse ligningen

x^{2} = 36

. Lad os først sætte ord på, hvad det er, vi skal finde. Vi skal finde ud af, hvilket tal, der ganget med sig selv, giver $36$ ‍.

Hvis dette spørgsmål lyder bekendt, er det fordi, at kvadratroden af

36

defineres på denne måde. Matematisk skriver vi det som

\sqrt{36}

Dette er den komplette løsning af ligningen:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Lad os gennemgå, hvad der foregik i denne løsning.

Hvad symbolet $\pm$ ‍ betyder

Bemærk, at alle positive tal har to kvadratrødder: en positiv kvadratrod og en negativ kvadratrod. For eksempel giver både

6

- 6

tallet

36

, når vi opløfter dem i anden. Derfor har denne ligning to løsninger.

\pm

er bare en smartere måde at repræsentere dette koncept matematisk. For eksempel betyder

\pm 6

"enten

6

eller

- 6

En bemærkning om inverse regneoperationer

Når vi løser lineære ligninger, isolerer vi den ukendte variabel ved at bruge omvendte regneoperationer: Hvis der bliver lagt

3

til variablen, skal trække

3

fra begge sider. Hvis variablen bliver ganget med

4

, skal vi dividere begge sider med

4

Den omvendte regneoperation af at kvadrere (opløfte noget i anden), er at tage kvadratroden. Men i modsætning til de andre regneoperationer, skal vi, når vi tager kvadratroden, huske at tage både de positive og de negative kvadratrødder.

Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.

Opgave 1

Løs $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Opgave 2

Løs $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Opgave 3

Løs $x^{2} = 5$ ‍.

Løsning af $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ og lignende ligninger

Sådan her finder vi løsningen til ligningen

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & Læg 2 til på begge sider. \end{aligned}

Derfor er løsningerne $x = 9$ ‍ og $x = - 5$ ‍.

Lad os gennemgå, hvad der foregik i denne løsning.

Isolering af $x$ ‍

Ved at bruge den omvendte regneoperation af at kvadrere, tage kvadratroden, fjernede vi i anden. Det var nødvendigt for at kunne isolere

x

, men vi skal stadig lægge

2

til i det sidste trin for at isolere

x

Forståelse af løsningerne

Vores arbejde endte med

x = \pm 7 + 2

. Hvordan skal vi forstå dette udtryk? Husk at

\pm 7

betyder "enten

+ 7

eller

- 7

." Derfor kan vi opdele vores svar i følgende to tilfælde: enten

x = 7 + 2

eller

x = - 7 + 2

Det giver os to løsninger:

x = 9

x = - 5

For at kontrollere det skal vi indsætte løsningerne i ligningen.

$x = 9$ ‍	$x = - 5$ ‍
$\begin{aligned} (9 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 7^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} (- 5 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ (- 7)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍

I begge tilfælde resulterede indsættelse af løsningen til ligningen i et sandt udsagn, så disse er faktisk løsningerne til ligningen.

Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.

Opgave 4

Løs $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

Opgave 5

Løs $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

Opgave 6

Løs $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

Hvorfor vi ikke bør gange ind i parenteserne

Lad os gå tilbage til vores eksempel,

(x - 2)^{2} = 49

. Lad os sige, at vi ønskede at gange parenteserne ud. Det gør vi jo normalt i lineære ligninger.

Ganger vi parenteserne ud, så får vi følgende ligning:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Hvis vi tager kvadratroden her, så skal vi tage kvadratroden af hele udtrykket

x^{2} - 4 x + 4

, men det er ikke helt tydeligt, hvad

\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}

giver.

At tage kvadratroden af udtryk som

x^{2}

eller

(x - 2)^{2}

giver os derimod pæne udtryk såsom

x

eller

(x - 2)

Det er derfor faktisk nyttigt i andengradsligninger at holde udtrykkene i faktoriseret form, da dette gør det muligt for os at tage kvadratroden.

Løsning af $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ og lignende ligninger

Ikke alle andengradsligninger løses ved straks at tage kvadratroden. Nogle gange skal vi isolere leddet, hvor variablen er i anden, inden vi tager kvadratroden.

For eksempel, for at løse ligningen

2 x^{2} + 3 = 131

skal vi først isolere

x^{2}

. Dette gøres på samme måde, som når vi isolerer

x

i en lineær ligning.

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & Træk 3 fra begge sider. \\ x^{2} & = 64 & Dividér med 2 på begge sider. \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.

Opgave 7

Løs $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍.

Opgave 8

Løs $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍.

Udfordrende opgave

Løs $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

Løsning af x2=36‍ og lignende ligninger

Hvad symbolet ±‍ betyder

En bemærkning om inverse regneoperationer

Løsning af (x−2)2=49‍ og lignende ligninger

Isolering af x‍

Forståelse af løsningerne

Hvorfor vi ikke bør gange ind i parenteserne

Løsning af 2x2+3=131‍ og lignende ligninger

Vil du deltage i samtalen?

Løsning af $x^{2} = 36$ ‍ og lignende ligninger

Hvad symbolet $\pm$ ‍ betyder

Løsning af $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ og lignende ligninger

Isolering af $x$ ‍

Løsning af $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ og lignende ligninger