Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 5: Løs andengradsligninger med faktorisering

Løs andengradsligninger med faktorisering

Lær hvordan man løser andengradsligninger som (x-1)(x+3)=0, og hvordan man bruger faktorisering til at løse andre former for ligninger.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Indtil nu har du løst lineære ligninger , som indeholder konstanter (almindelige tal) og variable af første grad,

x^{1} = x

Du har måske også løst nogle andengradsligninger (som har variablen opløftet i anden potens) ved at tage kvadratroden på begge sider.

I denne lektion lærer du en ny måde at løse andengradsligninger på. Specifikt vil du lære

hvordan man kan løse faktoriserede ligninger såsom $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ og
hvordan man bruger faktoriseringsmetoder til at faktorisere andre ligninger $($ ‍såsom $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ løse dem.

Løsning af andengradsligninger i faktoriseret form

Vi vil løse andengradsligningen

(x - 1) (x + 3) = 0

Dette er et produkt af to udtryk, der er lig med nul. Bemærk, at enhver

x

-værdi, der gør enten

(x - 1)

eller

(x + 3)

lig med nul, vil gøre deres produkt lig med nul.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Indsættelse af enten

x = 1

eller

x = 3

i ligningen vil resultere i det sande udsagn

0 = 0

, så de er begge løsninger til ligningen.

Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.

Løs $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Løs $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Spørgsmål til overvejelse

Kan den samme løsningsmetode anvendes for ligningen $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍?

Løsningsmetoden, som du lige har lært, gælder kun i tilfælde, hvor vi har et produkt, der er lig med nul.

Det er fordi, når et produkt er lig med nul, så vi ved, at en af faktorerne skal være nul; og vi er ligeglade med, hvad den anden faktor er.

Hvis et produkt er lig med et tal, der er forskelligt fra nul, såsom

6

, er der ingen særlige krav til en af faktorerne. Vi kan kun sige noget om de to faktorer tilsammen. For eksempel:

Hvis en af faktorerne er $1$ ‍, så er den anden $6$ ‍;
Hvis en af faktorerne er $2$ ‍, så er den anden $3$ ‍; eller
Hvis en af faktorerne er $\frac{1}{2}$ ‍, så er den anden $12$ ‍.

Dette tillader os ikke at lave andengradsligningen om til to separate lineære ligninger.

Bemærkning til nul-reglen

Hvordan kan vi vide, at der ikke er flere løsninger end de to, som vi finder vi ved hjælp af vores metode?

Svaret er givet ved en enkel, men meget nyttig egenskab, som kaldes nul-reglen:

Hvis produktet af to størrelser er lige med nul, så er mindst én af størrelserne lig med nul.
Vi allerede ved, at produktet af et vilkårligt tal og nul er lig med nul, men dette princip fortæller os, at hvis produktet er nul, så er det helt sikkert, at en af faktorerne er lig med nul.
Tænk på det tilfælde, hvor begge faktorer ikke er nul. I dette tilfælde ville produktet heller ikke være nul. For eksempel er der intet tal, som du kan gange med $2$ ‍ for at få nul, bortset fra nul.
For at et produkt er nul, skal en af faktorerne være nul.

Indsættelse af enhver

x

-værdi, bortset fra løsningerne, resulterer i et produkt af to tal, der er forskellige fra nul, hvilket betyder, at produktet bestemt ikke er nul. Derfor ved vi, at vores løsninger er de eneste mulige.

Løsning med faktorisering

Vi ønsker at løse ligningen

x^{2} - 3 x - 10 = 0

, så vi skal faktorisere

x^{2} - 3 x - 10

og løse den ligesom før!

x^{2} - 3 x - 10

kan faktoriseres til

(x + 2) (x - 5)

Fordi den ledende koefficient (koefficienten for

x^{2}

) er

1

, kan vi bruge sum-produkt mønstret.

Ifølge sum-produkt mønstret, hvis vi finder to tal

a

b

således at

a + b = - 3

a \cdot b = - 10

, så er

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Ved at se på par af heltal, hvis produkt er

- 10

og derefter fjerne dem igen, hvis deres sum ikke er

- 3

, finder vi ud af, at de tal, vi har brug for, er

a = 2

b = - 5

Derfor er det faktoriserede udtryk $(x + 2) (x - 5)$ ‍.

Løsningen af ligningen er derfor:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Faktoriser. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Nu er det din tur til at løse et par ligninger på egen hånd. Husk på, at forskellige ligninger kræver forskellige faktoriseringsmetoder.

Løs $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Trin 1. Faktorisér $x^{2} + 5 x$ ‍ som produktet af to lineære udtryk.

Trin 2. Løs ligningen.

Løs $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Trin 1. Faktorisér $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ som produktet af to lineære udtryk.

Fordi den ledende koefficient (koefficienten for

x^{2}

)er

1

, kan vi bruge sum-produkt mønstret.

Ifølge sum-produkt mønstret, hvis vi finder to tal

a

b

, således at

a + b = - 11

a \cdot b = 28

, så er

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Ved at se på par af heltal, hvis produkt er

28

og derefter fjerne dem, hvis deres sum ikke er

- 11

, finder vi ud af, at de tal, vi skal bruge, er

a = - 4

b = - 7

Det faktoriserede udtryk er derfor $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Trin 2. Løs ligningen.

Løs $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Trin 1. Faktorisér $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ som produktet af to lineære udtryk.

Trin 2. Løs ligningen.

Vi har allerede fundet ud af, at

4 x^{2} + 4 x + 1

kan faktoriseres som

(2 x + 1)^{2}

. Derfor kan vi løse ligningen på følgende måde.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Faktoriser. \end{aligned}$ ‍

I dette tilfælde har vi et produkt, hvor de to faktorer er ens:

2 x + 1

. Der er derfor ingen grund til at løse begge ligninger. Den eneste måde

(2 x + 1)^{2}

kan være nul er, hvis

2 x + 1

er lig med nul.

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

Ligningen har en enkelt løsning, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Løs $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Trin 1. Faktorisér $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ som produktet af to lineære udtryk.

Fordi den ledende koefficient (koefficienten for

x^{2}

) er forskellig fra

1

, skal vi bruge grupperings-metoden.

For at gøre det, skal vi først finde to tal

a

b

således, at

a + b = 11

a b = (3) (- 4) = - 12

Ved at se på par af heltal, hvis produkt er

- 12

, og derefter fjerne dem hvis deres sum ikke er

11

, finder vi, at de tal, vi har brug for, er

a = 12

b = - 1

. Nu kan vi omskrive

11 x

til

(12 x - x)

og gruppere.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

$3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ kan faktoriseres som $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍.

Trin 2. Løs ligningen.

Omskrivning af ligningen før faktorisering

En af siderne skal være nul.

Sådan her kan vi løse ligningen

x^{2} + 2 x = 40 - x

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Træk fra 40 og læg x til på begge sider. \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Reducer. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Faktoriser. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Før vi faktoriserede, omskrev vi ligningen, så alle led stod på samme side, og var lig med nul. Derefter kunne vi faktorisere og bruge vores løsningsmetode.

At fjerne fælles faktorer

Sådan her kan vi løse ligningen

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Divider med 2 på begge sider. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Faktoriser. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Alle led havde

2

som fælles faktor, så vi dividerede med

2

på begge sider af lighedstegnet — højresiden med nul forblev nul — hvilket gjorde faktorisering lettere.

Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.

Find løsningerne til ligningen.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Find løsningerne til ligningen.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Find løsningerne til ligningen.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Løsning af andengradsligninger i faktoriseret form

Spørgsmål til overvejelse

Bemærkning til nul-reglen

Løsning med faktorisering

Løs x2+5x=0‍ .

Løs x2−11x+28=0‍ .

Løs 4x2+4x+1=0‍ .

Løs 3x2+11x−4=0‍ .

Omskrivning af ligningen før faktorisering

En af siderne skal være nul.

At fjerne fælles faktorer

Vil du deltage i samtalen?

Løs $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Løs $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Løs $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Løs $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.