Intervaller og intervalnotation

I denne video håber jeg, at gøre dig bekendt med interval notation samt måder at vise et interval på. Her har jeg en tallinje. Lad os antage, jeg vil bruge det interval på tallinjen, der går fra -3 til 2. Lad mig bruge en anden farve. Jeg vil bruge dette interval med alle tallene fra -3 til 2. For at gøre det mere tydeligt, om jeg inkluderer -3 og 2 eller om jeg ikke inkluderer -3 og 2, eller måske kun en af dem. Hvis jeg inkluderer -3 og 2, så udfyldes cirklerne. Her udfylder jeg -3 og 2, hvilket betyder at -3 og 2 er en del af intervallet. Når du inkluderer endepunkterne, så kaldes det et lukket interval. Og jeg har lige vist dig, hvordan det vises på en tallinje med udfyldte cirkler. Man kan beskrive dette interval matematisk på flere måder. Lad os antage, at denne tallinje viser forskellige værdier for x. Det er alle de x'er, der ligger mellem -3 og 2. Da jeg har -3 er mindre end eller lig x, så betyder det, at x kan være lig med -3. Og vi har x er mindre end eller lig 2. så det betyder x kan være lig 2. Det er et lukket interval. Man kan også vise et lukket interval ved at bruge indadvendte kantede parenteser. ［-3; 2］ ［på dansk bruges ; i stedet for , ］ Jeg bruger indadventede kantede parenteser og den til venstre fortæller, at vi inkluderer -3 og den til højre fortæller, at vi inkluderer 2 i vores interval. Nogle gange kan du se det skrevet mere matematik-agtigt. Du kan se det som {x ϵ ℝ | -3 ≤ x ≤ 2}. Du bruger en krøllet parentes som denne her. Disse krøllede parenteser siger, at vi snakker om et sæt af værdier. Her, det sæt af alle x'er, der er et reelt tal. x ϵ ℝ betyder x tilhører de reelle tal Jeg bruger det græske bogstav epsilon, ϵ. x tilhører de reelle tal for hvilke det gælder, at... Den lodrette linje betyder "for hvilke det gælder, at" -3 er mindre end eller lig x, som er mindre end eller lig 2. Jeg kan også skrive det på en anden måde. x tilhører de reelle tal, for hvilket det gælder at, x tilhører dette lukkede interval. {x ϵ ℝ l x ϵ [-3; 2] } Jeg inkluderer endepunkterne. Disse er alle forskellige måder at skrive det samme interval. Lad os lave nogle flere eksempler. Lad mig tegne en tallinje. Lad mig lave et åbent interval, så vi kan se forskellen. Jeg vil bruge værdierne mellem -1 og 4. Lad mig bruge en anden farve. Værdierne mellem -1 og 4, men jeg vil ikke inkludere -1 og 4. Det skal være et åbent interval. Jeg vil ikke inkludere 4 og jeg vil ikke inkludere -1. Bemærk at cirklerne ikke er udfyldt. Herover bruge vi udfyldte cirkler, der fortæller at -3 og 2 inkluderes. Her har jeg åbne cirkler, der fortæller, at det er alle værdier mellem -1 og 4. -0,999999999 er inkluderet, men -1 er ikke inkluderet. 3,99999999 er inkluderet, men 4 er ikke inkluderet. Hvordan kan vi ellers skrive dette. Vi kan skrive, at x tilhører de reelle tal for hvilke det gælder, at -- jeg skriver ikke mindre end eller lig med, da x ikke kan være lig -1 -- -1 er mindre end x. som er mindre end 4. Altså ikke mindre end eller lig med, da x ikke kan være lig 4. 4 er ikke inkluderet. Det er en måde at skrive det på. Man kan også skrive det således. x tilhører de reelle tal, for hvilket det gælder, at x er i intervallet -1 til 4. Der bruges udadvendte kantede parenteser -- på engelsk bruges () i stedet for ][ -- der viser, at endepunkterne ikke inkluderes. De viser os, at det er et åbent interval. Lad mig lige skrive, at dette er et åbent interval. Vi har et tilfælde, hvor begge endepunkter er inkluderet, et lukket interval og et tilfælde, hvor begge endepunkter ikke er inkluderet, et åbent interval. Kan man have et tilfælde, hvor ét endepunkt er inkluderet og et endepunkt ikke er inkluderet? Svaret er naturligvis. Lad os se på et sådant eksempel. Jeg laver lige endnu en tallinjen. Lad os gøre det omvendt. Jeg skriver det først, så tegner jeg det. Lad os sige, at x tilhører de reelle tal, for hvilke det gælder, at... Lad os sige, at -4 ikke er inkluderet, så -4 < x ≤ -1. Nu er -1 inkluderet. Vi inkluderer ikke -4. -4 er mindre end, ikke mindre end eller lig med så x kan ikke være lig -4, en åben cirkel. Men x kan være lig -1. Det kan være mindre end eller lig med -1. Det kan være -1, så jeg udfylder cirklen og alt det, der ligger i mellem. Hvis jeg vil bruge denne notation, så skriver jeg {x ϵ ℝ | x ϵ ]-4; -1 ]}. Vi inkluderer ikke -4. Vi har en åben cirkel her, så der skal bruges en udadvent kantet parentes. Men vi inkluderer -1, så der bruges en indadvendt kantet parentes. Dette er den færdige notation. Man kan skrive interval notation på andre måder. Du kan sige alt undtagen visse værdier. Lad mig lave et andet eksempel. Vi vil bruge alle reelle tal, bortset fra 1. Vi vil inkludere alle reelle tal, bortset fra 1. Vi ekskluderer 1 med en åben cirkel. Det kan være ethvert andet reelt tal. Hvordan skriver jeg det? Vi kan skrive, x tilhører de reelle tal, for hvilke det gælder, at x ikke er lig 1. x skal være et reelt tal, men x kan ikke være 1. Det kan være alt andet, men det kan ikke være 1. Der er en anden måde at skrive præcis det samme interval på. Du kan skrive, x tilhører de reelle tal, for hvilke det gælder, at x er mindre end 1 eller x er større end 1. Du kan skrive det således eller du kan gøre noget spændende. Dette er den jeg vil bruge, da det er den korteste og mest tydelige. Alt bortset fra 1. Du kan skrive det smart ved at sige, x tilhører de reelle tal for hvilket det gælder, at x tilhører mængden fra minus uendelig til 1, men ikke inklusiv 1, eller x tilhører mængden fra 1, men ikke inklusiv 1, hele vejen til plus uendelig. Når vi bruger minus og plus uendelig så skal vi altid bruge udadvendte kantede parenteser, da du aldrig kan inkludere uendelig. Det skal være åbent i den ende, da uendelig jo fortsætter uendeligt. Du skal altid bruge udadvendte kantede parenteser, når du snakker om uendelig eller minus uendelig. Der er ikke noget endepunkt. Det fortsætter blot for evigt. Så du bruger notationen for et åbent interval i den ende. Og bemærk, at vi heller ikke inkluderer 1, så x ligger i dette interval eller i det interval. x kan være alt andet end 1. Men dette er den mest enkle notation